這一兩天再寫『黑洞淺談』的文章時,回想起了以前在念相對論時所思考的一個問題。我覺得瞭解這個問題可以幫助你釐清廣義相對論的某些觀念。問題是這樣的,我們知道沒有旋轉且不帶電的黑洞是史瓦西黑洞(Schwartzschild black holes),而旋轉不帶電的黑洞是克爾黑洞(Kerr black holes)。如果我從史瓦西黑洞的解出發,轉到一個有角速度且角速度是定值的旋轉坐標系,那麼在這個旋轉坐標系下的觀察者所看到的史瓦西黑洞應該是旋轉的情況,那這不就應該是旋轉黑洞的解,或者說就是克爾黑洞啊。因為從黑洞的唯一性定理,旋轉的黑洞應該就只能是克爾黑洞。但是很明顯把史瓦西黑洞轉到旋轉坐標系下,並不是克爾黑洞。所以到底是怎麼回事?如果旋轉坐標系底下的史瓦西黑洞就是描述旋轉黑洞的解,那為什麼從史瓦西找到不旋轉黑洞的解後經過四十多年我們才宣稱找到了旋轉黑洞解(以就是克爾黑洞)?
反過來看,如果把旋轉的黑洞透過旋轉的坐標轉換,讓它在新的坐標下是沒有旋轉,那在這個情況會得到史瓦西黑洞嗎?我可以告訴你,不會回到史瓦西黑洞。但這又是為什麼?
探討這個問題,我會從數學和物理的角度切入來解釋,希望讀者可以得到更完整的概念。解釋之前,我們先來探討重力場的邊界條件。什麼是邊界條件?當我們要描述某一個三維空間內每一點的物理場(例如靜電純量場)大小時,我們必須要先知道在這個三維空間中所出現的邊界(二維面)上面的相關物理資訊,才能利用場方程式來決定這個空間內場的分佈情況。這很合理,因為相同的場方程式,當邊界條件不同時,我們所得到邊界內的場分佈也不會一樣。舉個我們熟悉的靜電場例子。假設有一個圓球狀的金屬球導體出現在空間中,然後你放一個點電荷在金屬球附近。這時你想利用靜電場方程式來計算金屬球外(也就是我們上面所指的邊界內)的靜電純量場的大小,但是你會發現只靠方程式是無法得到球外的純量場,因為你沒有被告知金屬球上的純量場大小。所以你必須進一步瞭解金屬球是處在接地(球上的純量場為零)或是有固定外加電壓在上面,或是其他種情況,你才能真正知道球外的純量場大小。那這樣說來,重力場(或者說時空幾何)的邊界條件是什麼呢?如果我不知道,肯定無法描述時空中的重力場大小。讓我們先來看一個比較容易處理的情況,假設有一些星球(或是黑洞)分佈在某一個空間的範圍內(例如 r < 10萬光年),如果我們一直持續遠離這些星球,直到我們來到離這些星球非常遠的地方時(也就是 r 遠大於10萬光年),你認為重力場在你遠離的過程中,是如何變化的?一個最直觀的想法就是,重力場會越來越弱。這就像空間中一個帶電物體,當你越來越遠離它時,電場會越來越弱。所以根據這個直觀,我們給出這樣的重力系統一個合理的邊界條件:當 r 趨向於無窮大時,重力場會趨向於零,也就是說時空幾何是漸進平坦的(asymptotically flat)。提醒一下,漸近平坦的條件是我們基於一種物理的直觀所提出來的,這不是從廣義相對論中可以推導出來的條件(附註一)。漸近平坦的條件告訴我們一個很重要的訊息,在距離這些星球非常遠的地方,時空幾何會回到我們熟知的閔可夫斯基時空(Minkowski spacetime)。所以當史瓦西或是克爾在找愛因斯坦場方程式的解時,都是考慮漸進平坦的條件。在這樣的邊界條件下,他們分別找到了不旋轉黑洞和旋轉黑洞的解。說到這裡,你應該可以理解,既然它們是在相同的邊界條件所得到不同的解,那這兩個解所產生的時空扭曲應該是來自不同的重力場源。這就像是靜電學中,空間中只有一個點電荷和只有兩個點電荷所分別產生的靜電場是不同的,但是它們都滿足一樣的邊界條件,也就是當 r 接近無窮遠處,電場都是零。

從物理上我們已經可以理解這史瓦西黑洞和克爾黑洞是來自不同的重力源所產生的解。接下來我來回答我所提出的問題。當你要描述一個物體在三維空間的運動軌跡,或是一個點電荷在三維空間所產生的電場分布,你會怎麼做?通常第一步是先放一個坐標系統在空間中,然後用這個坐標系統來描述運動軌跡或是電場分佈。對於描述運動軌跡,你可能會使用卡氏坐標(Cartesian coordinates)而對於電場分佈,你可能會使用球坐標(spherical coordinates)。當然,毫無疑問的,你可以用卡氏坐標來描述電場分佈。但是很清楚的,不管你用那一個坐標來描述電場,電場的分佈是不會改變的。這就像你要告訴別人你的想法,你要用中文或是英文表達,都不會改變你要傳達的想法。你看到一個物體的運動軌跡,不管你是用什麼坐標來描述都不會改變你所看到的運動軌跡。從物理上來看,我們已經知道史瓦西黑洞和克爾黑洞是來自不同重力場源,所以即使你從史瓦西黑洞出發轉到一個旋轉的坐標,讓黑洞在這個坐標下是旋轉的,這個時空幾何的扭曲也不會是對應到一個旋轉黑洞的時空幾何。它所代表的只是你用不同的坐標在描述史瓦西黑洞。同樣的,你用坐標轉換把克爾黑洞轉到一個沒有旋轉的坐標下,這個時空扭曲也不會是對應到一個沒有旋轉黑洞的時空幾何。它所代表的只是你用不同的坐標在描述克爾黑洞。這樣的說法可能還是無法滿足某些讀者,所以我們從數學上來看這件事。是否可以證明從史瓦西黑洞下不存在坐標轉換可以將史瓦西黑洞轉到克爾黑洞,或是將克爾黑洞轉到史瓦西黑洞。這個數學證明是存在的,當你要從史瓦西黑洞轉到克爾黑洞時,你必須要滿足漸進平坦的條件和坐標轉換所需要滿足的可積分條件(integrability condition ),但是同時滿足這些條件的坐標轉換不存在。從幾何上來看,如果我們分別在史瓦西黑洞和克爾黑洞中打一束光,然後我們觀察這束光被時空扭曲的軌跡,在史瓦西黑洞下,光的截面(二維圓)沒有旋轉的情況,而克爾黑洞下,光的截面會被旋轉。而這不同的軌跡行為是無法透過坐標轉換來得到的。

最後我想提一下,是否有什麼樣的物理系統並不採用漸進平坦的邊界條件。有的,當我們在探討宇宙的演化時,我們所考慮的情況是,宇宙存在一種時間的坐標(我們稱為宇宙時間 cosmic time)。在這個時間坐標下,每一個瞬間,宇宙的三維物質分佈都是均勻並且各向同性。在這種情況下,我們就不會使用漸進平坦條件,因為無論在哪個位置,都有物質的分佈。換句話說,假如你把原點 (r=0) 放在地球的中心,即使在離地球很遠的地方,也有均勻的物質分佈,所以這樣的時空不可能是漸進平坦的。

附註一:在漸進平坦的條件下,我們可以利用愛因斯坦場方程式的幾何分析中知道當 r 越來越大時不同的幾何量的遞減情況。這個部分有興趣的人可以參考 Newman-Penrose 的漸進展開(asymptotic expansion)。

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