從古至今,人類不斷嘗試用各種不同的方式來描述生活周遭這片美麗的大自然。詩人用文字勾勒出大自然帶給他的美與感動,音樂家用音符譜寫出一段段動人的旋律,而畫家則是用畫筆和顏料描繪出一幅幅觸動人心的畫作。藝術家們透過藝術作品將他們所體會到的自然之美分享給大眾,那物理學家呢?物理學家是透過方程式來呈現大自然所存在的規律性,而這種規律性本身就蘊含著一種美感。不過和這些藝術家不同的是,物理學家所尋找到的這些規律性是不帶有個人主觀的感受,他們是根據觀察、實驗和理論推導,然後透過數學的語言所寫下的。沒想到在我們所身處的大自然中,竟然存在著這些規律性,光是這件事本身就令我感到十分驚嘆。物理學家不只是透過方程式描繪出大自然的規律,同時也藉由方程式去探索整個宇宙,甚至到宇宙的起源。

既然方程式闡述著自然的規律,我們今天就來聊聊方程式,這同時也跟我標題中所提到的格林函數有非常大的關聯。目前描述大自然規律的方程式絕大多數都是偏微分方程式,像是電磁學裡的馬克斯威爾方程式(Maxwell’s Equations)、廣義相對論裡的愛因斯坦場方程式(Einstein Field Equations)、量子力學裡的薛丁格方程式(Schrodinger Equations)、相對論性量子力學裡的狄拉克方程式(Dirac Equations)以及熱傳導的熱量擴散方程式(Diffusion Equations)等。就讀理工科系的學生,不管你是唸基礎科學的還是應用科學(像是電機、機械等),都一定會碰到偏微分方程式。這很合理,因為自然定律就是遵守這些方程式,所以當你越了解方程式,你就越能夠去控制或是應用這些自然定律。

要了解這些偏微分方程式,當然就是要想辦法找出方程式的解。這個過程就如同你在偵辦一個離奇的案件,必須用現有的辦案工具和線索,透過縝密的思考以及仔細的分析來破案。 我上面所提到的這些偏微分方程式都不是很容易處理,不少物理學家光是研究愛因斯坦方程式就玩了一輩子。既然有這些不同的偏微分方程式,那我們就先來把這些方程式分類,把處理手法類似的方程式分成同一類。第一個分類的標準就是線性還是非線性。對於線性的偏微分方程式,我們“辦案的工具”其實還不少,格林函數就是其中一個非常重要的工具。然而處理非線性偏微分方程式就相對困難許多,我們通常的做法是提出一些近似的方法來研究非線性的效應,像是英國物理學家邦迪爵士(Sir H. Bondi) 等人所提出利用光束(null congruence)去研究愛因斯坦場方程式中重力波的非線性效應,或是法國物理學家達穆爾教授(T. Damour)等人所使用的後牛頓近似法(Post-Newtonian approximation)去計算星體的運動對時空幾何所產生的非線性效應。另外,2020的諾貝爾物理學獎得主,同時也是時空研究書苑和學苑的創辦人吳育慧博士的師公,羅傑・潘若斯爵士(Sir Roger Penrose)和已故的物理學家史帝芬・霍金,他們兩人則是利用愛因斯坦方程式去研究大尺度的時空幾何結構以及黑洞內部的奇異點。我認為愛因斯坦場方程式中還存在著許多非線性現象是我們物理學家目前還沒有發掘出來的,或許這裡面隱藏著使人感到驚訝的現象。

現在讓我們回到線性偏微分方程式,特別是二階微分的方程式,主要是因為絕大部分我們所遇到的偏微分方程式,微分的最高次數是兩次,像是馬克斯威爾方程式。對於線性的二階偏微分方程式,我們可以再作進一步的分類,將這些方程式分成三種形式,分別是 Elliptic type,Hyperbolic type 以及 Parabolic type(至於為什麼要分成這三種形式,當然有原因,這裡就不詳加敘述了)。對於 Elliptic type 和 Parabolic type 的線性偏微分方程式,我們都可以用格林函數的方式來解。格林函數的解法是非常有效,我們可以先從原始的線性偏微分方程式找到 adjoint 的偏微分方程式。然後滿足這個adjoint 方程式(以及邊界上的條件)並且允許空間中存在有不連續的 source pole(也就是所謂的 Dirac delta 函數)的解就稱為格林函數(Green’s function)。一個很有趣的問題是,我明明要找到是原始偏微分方程式的解,但是為什麼卻要去找滿足 adjoint 方程式的格林函數。這背後的原因是因為格林理論(Green’s theorem),只要我們找到格林函數,然後透過已經給定的系統邊界條件(對於Elliptic type,有Dirichlet 邊界條件和Neumann邊界條件可以選擇)或是初始條件(對於 Parabolic type,我們要給初始條件,而不能給封閉的邊界條件。),我們就可以直接找到原始方程式的解。還有另外一個原因是,雖然格林函數本身有不連續的地方,但是利用格林函數所找到的解是解析的(analytic)。

我們還沒有討論到 Hyperbolic type 的偏微分方程式,對於這類的方程式,我們不能利用格林函數,因為格林函數的不連續性無法被孤立在一個點,而是會一直傳播到 characteristics 面上。所以對於這類的偏微分方程式,我們所要先尋找的不是格林函數,而是 characteristic functions(這個部分就不詳述了)。

格林理論和格林函數是一個非常重要的“辦案工具”去解決線性的偏微分方程式。對於唸理工科系的學生,最好大二以前能夠去學好線性的偏微分方程式,這會對你將來從事理工方面的工作有非常大的幫助。因為在學習這些東西的過程中,你不只會學到解方程式的方法,你也會從中學到像是 hypergeometric funciton、Gamma functions、Bessel functions、Hankel functions、Spherical Harmonics、Legendre functions 等特殊函數裡面有趣的性質,還有傅立葉積分(Fourier Integrals)和拉普拉斯積分(Laplace Intergrals)。另外用本徵函數(Eigenfunctions)去建構格林函數也是非常值得學習的方法。

文/王志宏博士

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