在大學學習古典力學時，一定會學習到 Lagrangian and Hamiltonian formulas。這篇文章主要是分享我對 Lagrangian and Hamiltonian formulas 的理解。文章中並沒有太多方程式或是詳細地推導過程，我只想 focus 在概念上的講解，因為我發現學生在學 Lagrangian 或是 Hamiltonian 時，很多時候並不是不會裡面的數學推導過程，而是觀念上的不清楚。希望這篇文章能對一些學生有幫助。

讓我們先來討論 Lagrangian formula。我們在高中學習力學時，主要是利用牛頓的三大運動定律來描述力學系統。或許你會問既然牛頓定律已經可以描述力學系統，為什麼我們還要學習看起來比較抽象的 Lagrangian formula？對我而言主要有三個原因，第一個原因是 Lagrangian formula 裡面只需要一個原理，稱為 Hamilton’s principle or the principle of the least action (最小作用量原理)，而牛頓定律有三個。 第二個原因是我們可以很容易從 Lagrangian formula 推導出物理系統中存在的 symmetries 和 conserved quantities 之間的關係。第三個原因是我們可以很容易將 non-relativistic 的系統拓展到滿足 special (or general) relativity 的物理系統。例如牛頓力學並不滿足 special relativity，所以我們需要修改牛頓力學中的運動方程式（equations of motion），讓方程式可以在 Lorentz transformation 下滿足 covariant 的形式。但是如果採用 Lagrangian formula，我們只要確定 Lagrangian 是四維時空下的函數，那我們得到的 equations of motion 就會自然滿足 covariant 的形式。

使用 Lagrangian formula 處理力學問題時，一開始我們會寫下作用量（action）, 也就是 Lagrangian 對時間的積分。這裡的 Lagrangian 是 generalized coordinates $q (t)$, generalized velocities $\dot{q} (t)$ 以及時間 ($t$) 的函數（我這裡沒有探討場論，如果要探討場論的 Lagrangian formula，我們要引進的是 Lagrangian density，而且 action 是對四維時空的積分，不過主要的基本概念其實都一樣。）。你可以把這些 generalized coordinates 想成是系統所存在的自由度（如果是場論中的 Lagrangian density, 這些 generalized coordinates 就會對應到 classical fields.）。假如系統存在某些 constraints，那系統的自由度就會減少。存在 constraints 的系統，我們通常會使用 Lagrange multiplier 的方法來處理（這個部分的概念沒有很複雜，讀者可以自己去了解）。如果這些 constraints 是屬於 holonomic constraints，我們也可以引進一組新的 generalized coordinates $Q(t)$ 來寫下 Lagrangian。當然，這組 $Q(t)$ 的數量會比原來的 $q (t)$ 少，而且 $Q(t)$ 和 $q (t)$ 的關係是透過 holonomic constraints 建立起來的。

接下來我們來說明一下如何從 Lagrangian formula 得到系統的 equations of motion (如果是場論就是得到 field equations) 。已知 Lagrangian 是 $q (t)$, $\dot{q} (t)$ 以及 $t$ 的函數，Hamilton’s principle 告訴我們系統隨時間的演化會是走 action (符號是 $S$） 是極值的那條軌跡（這裡我們假設起點和終點是固定的，而且 constraints 都滿足的情況下）。要找到那條軌跡，我們需要利用 Calculus of variations (變分法) 。簡單的說一下，Calculus of variation 和微分主要不同的概念是 variation (常用的符號是 $\delta$ ) 改變的是函數（像是 $q (t)$）而微分改變的是變數（像是 $t$）。所以我們是透過改變 $q (t)$ 來尋找哪一條 $q (t)$ 會滿足 $\delta S=0$。從 $\delta S=0$ 這個方程式，我們會得到所謂的 Euler-Lagrange equations. 這些 equations 可以用來解出 $q (t)$，所以 Euler-Lagrange equations 就是這個系統的 equations of motion。或許你會說在 special relativity 的概念下，時間是相對的，而我們在描述系統的演化似乎已經選定了一個特定的時間，這樣會不會跟 special relativity 的概念有衝突？我們的確選定了一個特定的時間（或者說慣性觀察者）去描述這個系統，但是只要 Lagrangian 是四維時空下的一個 scalar function（也就是 Lagrangian is invariant under the Lorentz transformation)，那我們得到的 equations of motion 自然會滿足 special relativity (簡單地說是 equations of motion 在 Lorentz transformation下會是 covariant)。當然，你也可以考慮 $t$ 是一個 degree of freedom，然後引進一個新的 parameter（$\tau$） 來描述這個系統的演化，這樣你就沒有選定一個特定的時間來描述系統。不過要注意的是你會多一個 constraint for 4-dimensional velocity。這個部分的內容不是這篇文章的主軸，所以我們就不繼續探討下去。

現在我們來聊一下 Lagrangian formula 是如何建立 symmetries 和 conserved quantities 的關係。當 Lagrangian 沒有 explicitly depends on a generalized coordinate $q (t)$ ，從 Euler-Lagrange equations 我們可以直接得到一個不隨時間改變的物理量（conserved quantity），我們稱這個物理量為 momentum (要注意這個 momentum 是 associated to $q (t)$ )。當 Lagrangian 沒有 explicitly depends on time $t$，利用 Euler-Lagrange equations 我們所得到的 conserved quantity 稱為 Energy。如果我們想將 symmetries 和 conserved quantities 之間的關係拓展到古典場論，有一個系統性的數學方法就是利用 infinitesimal transformation (也就是 group theory 或是 differential geometry 裡所說的 Lie derivative)。我覺得在學習 infinitesimal coordinate transformations 時要注意，書中所說的 infinitesimal coordinate transformations 和我們所認知的 coordinate transformations 不太一樣，infinitesimal coordinate transformations 採用的是一種 active picture (也就是 transform fields infinitesimally and then compare the transformed fields to original fields at the same point)。 另外，infinitesimal transformation 不一定要限制在 space and time 的 transformations，也可以是一種 infinitesimal 的 gauge transformation (例如電磁場中的 U(1) gauge transformation)。在古典場論中，討論 symmetries 和 conserved quantities 的關係背後的理論就是 Noether theorems（對於local symmetries 和 global symmetries 的情況，以後有機會再來分享）。

最後我們來探討一下如何寫下一個物理系統的 Lagrangian。對我而言這個部分是 Lagrangian formula 裡面最有趣的部分 ，因為這個部分會 involve 你的物理直覺。對於已知的物理理論，我們可以從理論中的 equations of motion 來反推得到 Lagrangian 的形式。例如，考慮牛頓力學中 particles 在 external gravitational or electromagnetic forces 的情況，我們發現 Lagrangian 可以寫成 $T$ (動能) $–$ $U$ (位能) 的形式。如果是 relativistic particles 的情況，Lagrangian 不會滿足 $T-U$ 的形式，主要是它的動能形式不會是牛頓力學底下的動能（會有所謂的 rest mass）。這時候或許你會問，有沒有可能從 equations of motion，我們無法得到 Lagrangian，也就是 Lagrangian 不存在。這個情況的確是存在的，例如 external forces 沒辦法用位能的形式表達出來。當我們描述的系統存在這種情況，我們就必須在 Euler-Lagrange equations 裡加入這些沒辦法表達成位能的 external forces。在古典場論裡，我們有些 guiding principles 可以幫助我們尋找 Lagrangian density, 例如要求field equations (場方程式) 是二階的偏微分方程式，或是要求 action ($S$) is invariant under general coordinate transformations or gauge transformations。所以如果你假設自然界存在一個新的未知的場，那你可以利用你的物理直覺和 guiding principles 寫下這個場的 Lagrangian 和這個場與其他已知的古典場之間的 interactions。不過最後還是要由實驗來決定你提出的理論是不是對的。

說完 Lagrangian formula，我們來討論一下 Hamiltonian formula。Hamiltonian formula 主要是把 Lagrangian formula 中的 momenta $p(t)$ 和 generalized coordinates $q(t)$ 視為互相獨立的函數，所以 Lagrangian 到 Hamiltonian 需要經過一種變數變換的過程，稱為 Legendre transformation (Legendre transformation 主要是將函數中一組獨立的變數轉換到另外一組獨立的變數，這跟你在熱力學裡面學到不同 thermodynamic potentials 之間的轉換是一樣的概念 )。經過 Legendre transformation， 我們會得到 Hamiltonian 是 $q(t)$，$p(t)$ 以及 $t$ 的函數，這裡的 $\{q(t), p(t)\}$ 稱為 canonical variables。要如何找到 Hamiltonian formula 底下的 equations of motion (也就是 Hamilton’s equations）？ 基本上有兩個方法，第一個是從 Euler-Lagrange equations 出發，利用 Legendre transformation 就可以得到 Hamilton’s equations。第二個方法是利用 Hamilton’s principle，不過和 Lagrangian formula 不同的是，我們可以改變的函數不是只有$q(t)$，而是 $q(t)$ 和 $p(t)$。一樣利用 $\delta S =0$，我們一樣可以得到 Hamilton’s equations。至於要如何用 Hamiltonian formula 去處理有 constraints 的系統，這個問題以後有機會再分享。

這時或許你又會問既然已經有 Lagrangian formula 可以描述系統的演化，為什麼還要再學習 Hamiltonian formula。對我而言主要的原因有兩個，一是 Hamiltonian formula 提供一個從古典理論過渡到量子理論的方法，我們稱這個方法為 canonical quantization。第二個原因是 canonical transformation 提供我們新的觀點去分析系統的演化。所以最後我想來講一下 canonical transformation。首先，要注意 canonical transformation 不是我們熟悉的 coordinate transformations in space-time。你可以把 canonical transformations 想成是 phase space 裡的一種 coordinate transformations。在 phase space 裡的 coordinates 是 $\{ q(t), p(t)\}$，所以 canonical transformations 是把一組 canonical variables $\{ q(t), p(t)\}$ 轉到另外一組新的 canonical variables $\{ Q(t), P(t)\}$。要注意 canonical transformation 不會保持 Hamiltonian 不變，它是保持 Hamilton’s equations 的形式不變，或者說 $\{ Q(t), P(t)\}$ 的確是一組 canonical variables。在建立 canonical transformations 的方法中，我覺得 generating functions 是很重要的方法，因為它給出兩個重要的概念。第一的是從 infinitesimal canonical transformation 的分析中，我們可以發現 Hamiltonian 是時間方向的 generator，it carries the time evolution of the system。第二個是它可以給出 Hamilton-Jacobi equations。 簡單來說，就是我們在找一個generating function，可以把 Hamiltonian 轉到一組 constant in time 的 canonical variables $\{ Q, P\}$。這組 canonical variables 會對應到 initial values of $\{ q(t), p(t)\}$。所以本來描述系統演化的方程式是 Hamilton’s equations，現在變成一個偏微分方程式，也就是 Hamilton-Jacobi equation，而且這個方程式所要解的函數就是 generating function。還有一點很有趣的是，這個 generating function 基本上就是 action ($S$) (up to a constant term)。古典力學的 Hamilton-Jacobi equation 和量子力學的 Schrodinger equation 存在某些連結，也就是說如果考慮 WKB approximation，Schrodinger equation 的古典極限會給出 Hamilton-Jacobi equation。如果我們將類似的概念推廣到廣義相對論，那 Wheeler-Dewitt equation 的古典近似也會對應到廣義相對論下的 Hamilton-Jacobi equation。要深入講又會是另一個故事了。

如果有想要系統性的了解 Lagrangian and Hamiltonian formulas，我會推薦 Landau & Lifshitz 的 Mechanics 和 The classical theory of fields，或是 Herbert Goldstein 的 Classical mechanics。

Written by Chih-Hung Wang