文/王志宏 Feb 19 2016

黑洞(Black holes)可以說已經是家喻戶曉的名詞,我想這是一個不管大人或小孩都聽過的名詞。它曾經出現在電影(例如星際效應)、小說、Discovery頻道、甚至連公視的水果奶奶也唱過一首名叫「奇妙的黑洞」的歌。而在 2015年九月十四日 LIGO 所測到的重力波,也是來自於兩個黑洞融合的過程所產生的。但是到底黑洞是什麼?我發現聽過它的人卻都不是很瞭解它。所以這篇文章主要的動機就是帶領大家來認識黑洞。同樣的,就像我之前所寫的科普文章,我只做概念以及定性的探討,避免了任何時空幾何的計算和黑洞中的數學的證明(附註一)。另外,我必須要先讓讀者知道這篇文章是侷限在廣義相對論以及古典理論的範疇下來探討,對於想瞭解霍金輻射(Hawking radiation)、黑洞熱力學(Black hole Thermodynamics)等和量子領域相關的讀者們,這個部分等我之後另外找個時間來寫。

到底黑洞是什麼?我們要如何認識它?大部份的人似乎都覺得黑洞深奧難懂,但是又對它充滿著無限的想像。但是我覺得認識黑洞比認識一個人容易得多。怎麼說呢?我來舉個例子。當你在填寫基本資料表時,上面需要填寫的空格通常超過十個以上,其中包括有身高、年齡、性別、⋯等等。如果我們想像每一個空格是一個參數,我們的基本資料表上面有超過十個以上的參數。當別人看到這些參數後,對你也只有非常初略的認識,他是無法從這些參數知道你的長相、個性等等,所以基本資料表對於我們瞭解這個人是非常有限的。但是如果我們想要瞭解黑洞時,物理學家已經幫你設計好一張黑洞基本資料表,當你拿到這張空白表格時,你會發現表格上面只有三個空格,旁邊分別寫著質量(M)、自旋量(S)和電荷(Q)(參見附圖一)。當一顆黑洞填完表格交還給你時,你拿去給物理學家看,物理學家可以非常清楚地告訴你這顆黑洞的所有性質,包括形狀、大小、黑洞造成時間變慢的情況、黑洞內外時空扭曲的情況,除了黑洞的中心處所存在的奇異點(Singularity)(參見附註二)。所以我們如果要認識黑洞,其實只需要知道三個參數:M, S, Q 就可以清楚的瞭解它,而這就是我們所說的黑洞無毛理論(Black hole no hair theorem)。這個理論可是由幾位非常出色的物理學家,主要是W Israel、史提芬・霍金(Stephen Hawking)、卡特(B Carter) 所建立的,這裡面包含許多幾何分析的工作。所以你可以瞭解到要設計出這張黑洞基本資料表其實是非常不容易的。不過從這個角度看起來,認識黑洞好像比認識一個人還要簡單得多。^^

在進一步探討黑洞之前,我先說明一下黑洞最基本的性質。在三維空間中,黑洞有一個封閉的邊界(二維面)。何謂封閉的邊界?簡單地說,就是在封閉的邊界上,你沿著任何一個方向一直走,最後都會回到你原來出發的地方。想像你在一個球面或是橢圓面(例如地球上),你沿著某一個方向一直走,最後一定會回到你的出發點,所以球面或橢圓面就是封閉的邊界。黑洞在三維空間底下的二維邊界就是封閉的邊界。那在時間方向的邊界呢?在四維時空下,黑洞沿著時間方向的演化是沒有邊界的,這代表黑洞可以一直存在著(提醒一下,我這裡沒有考慮霍金輻射的效應)。黑洞的三維邊界(二維封閉邊界加上時間)就是我們現在所稱的視界(Horizon),我畫了一張圖(參見附圖二)來描述我剛剛說的。圖中我有畫出一些光錐面。特別注意一下黑洞邊界上的光錐面,你會發現光錐面和黑洞邊界的時間方向切齊,這代表什麼意思呢?這個意思就是假如一道光從黑洞邊界上往外射出,因為光會沿著光錐面走,所以這道光就會一直待在黑洞的邊界,永遠跑不到外面來。這就是為什麼物理學家約翰・惠勒(John Wheeler)會稱之為黑洞,因為在黑洞邊界上的光都會一直待在邊界上,跑不出來。當然進入黑洞的光就只能往黑洞的中心去。從物理上來看,我們可以這樣想,黑洞邊界的重力(吸引力)太大,讓想要往外跑的光跑不出,只能待在邊界上。這時也許你會有一個問題,這樣光的速度不就是零嗎?不對,因為待在黑洞邊界上的時間也靜止了,所以你不能簡單地利用位移除以時間的變化來想。在廣義相對論的架構下,真空下的光速(c)和狹義相對論一樣永遠都是定值(附註三)。

我們已經知道描述黑洞只需要三個物理量:質量、自旋量(黑洞的旋轉角動量)、電荷,現在我們可以簡單的將它們分成兩類,沒有旋轉的黑洞(S=0)和旋轉的黑洞(S不等於0),來進一步探討它們的時空結構與物理特性。先來認識一下沒有旋轉的黑洞,對於沒有帶電的黑洞(Q=0)我們稱之為 史瓦西黑洞(Schwartzschild black holes),命名的原因是因為這是由卡爾,史瓦西從理論上得到的。對於帶電黑洞(Q不等於0),我們稱之為萊斯納-諾德斯特洛黑洞(Reissner-Nordstrom black holes,之後我簡稱 RN 黑洞)。先來瞭解一下沒有旋轉的黑洞的形狀。要描述一個物體的形狀,我們主要就是看它的邊界是什麼形狀。就像我要畫一隻大象的形狀,我只需要把大象身體的邊界畫出來。不管是史瓦西黑洞或是 RN 黑洞,它們的二維封閉邊界都是一個完美的球面(附註四)。因為 RN 黑洞有帶電荷,所以空間中會有靜電場。一般我們認為宇宙中所存在的黑洞的電荷量應該都是很小的,原因是如果有一個帶電量很大的 RN 黑洞(假設帶正電),它所產生的靜電力很容易將周遭的負電荷粒子吸進來,所以它的淨電量就會越來越小,所以天文中對於黑洞的電量比較少去探討。現在來瞭解一下黑洞的大小(忽略電荷量的影響),只要我們知道黑洞的質量,立刻就可以換算出黑洞的半徑(R= 2M),舉個例,一顆和地球質量一樣大的黑洞,其半徑是0.9公分,大約是一顆米粒的直徑大小。所以地球如果變成黑洞,半徑大約就只有一顆米粒大。從廣義相對論,我們已經知道重力場越大的地方,時間會變得越慢(這已經經過實驗的證實)。所以越接近黑洞,重力場越大,時間流動的越慢。這就是為什麼電影星際效應中,庫柏到了一顆距離『巨人』黑洞較近的星球再回來,對庫柏來說只過了幾個小時,但是對距離黑洞較遠的太空船上面的科學家羅米利來說,卻過了二十幾年。只要給我們不旋轉黑洞的質量和電荷,我們就可以知道在黑洞外任何一個地方,時間變慢的情況。

『黑洞淺談』下集,我要來討論最複雜卻也最有趣的黑洞:有旋轉的黑洞。你會發現我們可以從旋轉的黑洞中偷取能量,讓它的質量越變越小。這代表我們可以把黑洞質量全部偷走嗎?

附註一:黑洞理論中存在著不少重要的數學證明,如果真的想瞭解這個部分的讀者,我會推薦史提芬・霍金(Stephen Hawking)和喬治・埃利斯(George Ellis)所合寫非常經典的書『The Large Scale Structure of Space』,雖然這本書相對來說有點老了,但是我覺得它在對於大尺度的時空結構以及黑洞的數學證明上,例如奇異點理論(Singularity Theorem)或是黑洞唯一性定理(Uniqueness Theorem),都敘述得非常清楚。

附註二:所謂的奇異點就是質量密度無限大的地方。對於沒有旋轉的黑洞,奇異點是一個點,而對於旋轉的黑洞,奇異點是一條線(環狀)。在古典理論的範疇下,我們是無法描述奇異點。這個部分需要量子理論的幫忙,但是我想目前還沒有完整的理論可以解決奇異點的問題。雖然已經有發展出一些理論,例如弦論、Loop Quantum Gravity,嘗試去解決這個問題,但是我想這些理論一個很大的問題是目前沒有任何實驗可以去驗證它們的正確性。

附註三:對於學過勞倫茲轉換(Lorentz transformation)的讀者,有一個方式也許可以幫助你思考這個問題,在做勞倫茲轉換時,如果你考慮兩個慣性坐標系的相對速度是光速,你會發現時間停止,而且長度縮短到零的情況(當然現實生活中,你無法把一個有靜止質量的物體加速到光速)。但是在這個情況下,光速還是維持不變。從坐標圖來看,做了轉換的觀察者的坐標的時間軸和相對運動方向的空間軸在光錐面重合。如果你有注意到,三維的黑洞邊界其實是一個光超平面(null hypersurface),也就是光會在這個平面上行走。

附註四:要提醒一下,在三維空間中,黑洞並不是像我們日常生活中所看到的完美球體。因為邊界上任何一個一維圓的圓周長都小於 2×pi×黑洞的半徑,當然這是因為黑洞的時空幾何不是歐幾里德(Euclidean)幾何。

附圖一
附圖二

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